食塩水の問題が苦手な中学生へ!公式を丸暗記せずにどんな難しい食塩水にも対応できるように解き方を伝授

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中学生の皆さん、数学の食塩水の問題は得意ですか。

私自身中学生の頃は、食塩水の問題はあまり得意ではなく、とりあえず公式を暗記して解いていました。塾講師として中学生に数学を教えているときも苦手意識がある生徒が多かったと感じています。

なので今回は、どんな食塩水問題にも公式を丸暗記せずに対応できるように、解き方を伝授していこうと思います。

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公式を丸暗記しない

  • 濃度(%)=(食塩÷食塩水)×100 
  • 食塩=(濃度÷100)×食塩水
  • 食塩水=(100÷濃度)×食塩
皆さんの中で、まず最初に上の3つの食塩水の公式を覚えてそれに頑張って数を当てはめようとしている人がいるのではないでしょうか。でもこれだと、公式を忘れてしまったときや応用問題になったときに解答まで導けないと思います。
 
最初の基本問題ですと、公式に数字を当てはめれば解けると思いますが、応用問題になると、食塩水を取り除いたり、水を加えたりと工程が増えて公式を覚えただけでは対応できなくなるでしょう。
 
ですからまずは公式の意味を理解し、食塩水問題の本質を押さえましょう。

濃度の意味を理解する

濃度とは、食塩水の濃さを表します。つまり、食塩水の中に食塩がどれくらい入っているかの割合を示します。
 
割合が理解できない人もいると思うので簡単に例をだすと、
 
例えば、100人クラスの中に男子生徒が60人にいたら、その割合は60%とすぐわかりますよね。でも、これを計算で出すと(60÷100)×100=60%、(男子生徒÷クラスの人数)×100ということになります。
 
ここでは男子生徒の割合は、単純にクラスの中で男子生徒がどれくらいいるかという割合を示しているだけなのです。
 
また、なぜ最後に100をかけるかというと、60÷100=0.6の0.6は百分率を表しています。割合は%で表さないといけないので0.6に100をかけて60%となります。
 
これが理解できると、濃度(%)=(食塩÷食塩水)×100の公式を暗記しなくても出てくると思います。
 
残り二つの公式は、濃度を求める公式をそれぞれ食塩=と食塩水=に直せばできます。3つの公式を忘れてしまったときは、濃度の意味を思い出して、そこから公式を導きましょう。
 
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食塩と濃度のうちどの値が変化して変化していないかに注目

食塩水の問題が難しく感じる理由は、食塩水を取り除く、水を加えるといった工程が繰り返される中で、どう計算すればよいのかがわからなくってしまうからだと思います。
 
ですが、それぞれ加えたり、取り除いたりする過程で、ひとつずつ何が変化して変化していないかを順番に見ていけば解くことができます。
 
例えば、水を加えると食塩水は薄まるので濃度は変化しますよね。でも、水しか加えていないので食塩の量は変わりません。このような部分に注目して解いていきます。
 
では実際に問題を解きながら説明していきます。

食塩水の問題を解きながら解説

例題:16%食塩水200gからXgをくみ出し、それと同量の水を入れ、さらにそこからXgをくみ出して水Xgを入れたところ、9%の食塩水になった。Xの値を求めよ。

まず、Xg取り出したあとの食塩水は、濃さは変わらないので濃度は16%のままです。
残りの食塩水の量は、200gからXgくみ出したので、(200-X)g
そうすると食塩の量は公式に当てはめて、(16÷100)×(200ーX)g

これに同量の水Xgを加えると、当然薄まるので濃度が変わります
逆に、食塩は加えていないので食塩の量は変わりません。
(16÷100)×(200ーX)gのままです。
食塩水の量は、(200-X)gに水Xg加えるので全体として、(200-X)+X=200g
そうすると濃度は公式に当てはめて、
(16÷100)×(200ーX) ÷200×100=(16÷200)×(200ーX)(%)

ここからさらにXg食塩水を取り除くと、濃度は変わらないので
(16÷200)×(200ーX)(%)
食塩水の量は200gからXg取り除くので(200-X)g
そうすると食塩の量は公式に当てはめて、
(16÷200)×(200ーX)÷100×(200ーX)=(16/200×100)×(200ーX)²g

最後にまた水Xgを加えるので、食塩の量は変わらず、(16/200×100)×(200ーX)²g
食塩水の量は、(200-X)gに水Xg加えるので全体として、(200-X)+X=200g
濃度は公式に当てはめると、
(16/200×100)×(200ーX)²÷200×100=16/200²×(200ーX)²(%)

この最後の濃度が9%になるので方程式を作り、
16/200²×(200ーX)²=9 ∴X=50となります。

今回は2次方程式の問題でしたが、式を作るまでは1次方程式や連立方程式でも使えると思います。

工程が4回あり、また文字が入っていたので計算が面倒かもしれませんが、やることはひとつです。水や食塩水を加えたり、取り除いたりするときにどの量が変化して、どの量が変化していないかに注目することです。

まとめ

食塩水の問題を解くにあたって、まず公式を丸暗記して解こうとしないように、まず濃度の意味を理解しましょう。意味が理解できれば、3つの公式を作ることができます。

実際に解答するときは、水や食塩水を加えたり、取り除いたりする過程で何が変化し変化していないかに注目してひとつずつ解いていきましょう。

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